Teorema e Ponto de Feuerbach

O matemático Karl Feuerbach (1800-1834) provou que, para qualquer triângulo, existe uma circunferência que contém nove dos seus pontos notáveis: os pontos médios dos lados, os pés das alturas e os pontos médios dos segmentos de recta que unem o ortocentro a cada um dos vértices do triângulo.
Em 1822, Feuerbach comprovou ainda que esta circunferência dos nove pontos (designada também por circunferência de Euler ou de Feuerbach) intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo, ou dito de outra forma, a circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência inscrita ao triângulo e às três circunferências exinscritas ao triângulo.
A circunferência inscrita ao triângulo e a circunferência dos nove pontos intersectam-se no ponto de Feuerbach (F), conforme podemos ver na seguinte animação:



Observações:
O incentro I do triângulo é determinado pela intersecção entre as bissectrizes interiores do triângulo.
O ortocentro O é determinado pela intersecção entre as alturas do triângulo.
Os centros dos triângulos exinscritos são determinados pela intersecção entre as bissectrizes interiores e as bissectrizes dos ângulos exteriores adjacentes.
A circunferência dos nove pontos foi desenhada a traço expressivo de cor azul.