Pontos concíclicos

Ross Horsberger, no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry", refere que as bissectrizes adjacentes de qualquer quadrilátero se intersectam sempre em quatro pontos concíclicos.
A construção seguinte pretende confirmar a veracidade desta afirmação.

A animação pré-definida movimenta o vértice D sobre a circunferência que contém o ponto M1, determinando que o quadrilátero [ABCD] nunca seja cíclico, porque os quatro vértices nunca pertencem à mesma circunferência.
As rectas a, b, c e d são, respectivamente, as bissectrizes dos ângulos de vértice em A, B, C e D. As bissectrizes adjacentes intersectam-se nos pontos W (entre a e b), X (entre c e b), Y (entre c e d) e Z (entre a e d).
Podemos verificar que estes quatro pontos (que definem um polígono azul claro) são concíclicos, porque pertencem à mesma circunferência (que está desenhada a vermelho).

Pode experimentar parar a animação e seleccionar a ferramenta "Mover" para:
- mover o vértice D livremente;
- mover M1 ou M2, modificando o raio das circunferências desenhadas a traço interrompido;
- mover os vértices A, B ou C sobre a circunferência que os contém.
Também pode introduzir uma nova animação, se, depois de seleccionar a ferramenta respectiva, clicar uma vez no ponto D e duas vezes sobre a circunferência que contém os vértices A, B e C. Neste caso, o quadrilátero [ABCD] será cíclico, mas a veracidade da afirmação manter-se-á.
Se movimentar quaisquer outros elementos e quiser voltar ao desenho inicial, actualize (em F5) ou faça um "refresh" da página.