domingo, 28 de junho de 2009

Pontos concíclicos

Ross Horsberger, no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry", refere que as bissectrizes adjacentes de qualquer quadrilátero se intersectam sempre em quatro pontos concíclicos.
A construção seguinte pretende confirmar a veracidade desta afirmação.

A animação pré-definida movimenta o vértice D sobre a circunferência que contém o ponto M1, determinando que o quadrilátero [ABCD] nunca seja cíclico, porque os quatro vértices nunca pertencem à mesma circunferência.
As rectas a, b, c e d são, respectivamente, as bissectrizes dos ângulos de vértice em A, B, C e D. As bissectrizes adjacentes intersectam-se nos pontos W (entre a e b), X (entre c e b), Y (entre c e d) e Z (entre a e d).
Podemos verificar que estes quatro pontos (que definem um polígono azul claro) são concíclicos, porque pertencem à mesma circunferência (que está desenhada a vermelho).

Pode experimentar parar a animação e seleccionar a ferramenta "Mover" para:
- mover o vértice D livremente;
- mover M1 ou M2, modificando o raio das circunferências desenhadas a traço interrompido;
- mover os vértices A, B ou C sobre a circunferência que os contém.
Também pode introduzir uma nova animação, se, depois de seleccionar a ferramenta respectiva, clicar uma vez no ponto D e duas vezes sobre a circunferência que contém os vértices A, B e C. Neste caso, o quadrilátero [ABCD] será cíclico, mas a veracidade da afirmação manter-se-á.
Se movimentar quaisquer outros elementos e quiser voltar ao desenho inicial, actualize (em F5) ou faça um "refresh" da página.

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