Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexágono inscrito numa curva cónica são colineares. A recta que contém estes pontos chama-se recta de Pascal.
Surpreendentemente, este teorema continua válido mesmo quando o hexágono não é regular ou sequer convexo e independentemente da cónica!
As seguintes construções animadas demonstram a validade deste teorema.
Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 definiram a cónica (o ponto 1 pertence a uma circunferência, para permitir a animação do desenho), enquanto que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’ são pontos pertencentes à cónica, a partir dos quais se definiram as seguintes rectas e pontos de intersecção:
- as rectas A’B’ e BC, intersectam-se no ponto X;
- as rectas B’C’ e AB intersectam-se no ponto Y;
- as rectas AA’ e CC’ intersectam-se no ponto Z.
Os pontos X, Y e Z pertencem a uma mesma recta p, desenhada a traço contínuo expressivo.
Pode movimentar os pontos 1, 2, 3, 4, 5, A, B, C, A', B' ou C' para verificar a validade do teorema (aconselho-o a utilizar, para tal o terceiro desenho, que é idêntico aos anteriores, mas não tem animação).
Neste primeiro desenho, a curva cónica é uma elipse, ainda que variável, de acordo com a deslocação do ponto 1 (para melhor visualização, o hexágono foi preenchido com uma mancha clara):
No segundo desenho, a cónica tanto é uma elipse como uma hipérbole:
Neste desenho, pode experimentar movimentar os pontos (excepto, claro X, Y e Z, que resultam de intersecções de elementos pré-definidos):
Para realizar esta construção com o C.a.R.Metal, utilize a ferramenta "Secção Cónica passando por 5 pontos" e defina-a com os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 (um destes pontos pode pertencer a uma circunferência, previamente desenhada, se quiser incluir a animação). Defina os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencentes à cónica, e a seguir as rectas referidas para determinar os pontos X, Y e Z.
A consultar: Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967
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