No entanto, esta situação verificar-se-á se e só se o ponto que as contiver pertencer ao circuncírculo do triângulo:
Apesar de não existirem provas, esta linha foi atribuída ao matemático britânico Robert Simson (1687-1768) que, com o seu trabalho, muito contribuiu para a Geometria e para a Aritmética. Crê-se, contudo, que foi descoberta por William Wallace em 1797 (segundo H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, "Geometry Revisited", pg 41).
Podemos ainda verificar as seguintes particularidades decorrentes deste teorema:
1.
Se o triângulo [DEF] for equilátero, o circuncentro O e P um ponto qualquer do circuncírculo, então, a linha de Simson do ponto P intersecta o segmento de recta OP no seu ponto médio.
O lugar geométrico deste ponto médio descreve a circunferência inscrita ao triângulo equilátero (a traço expressivo vermelho):
2.
A recta de Simson de um ponto do circuncírculo divide a meio o segmento que une esse ponto ao ortocentro do triângulo.
O ortocentro é determinado através da intersecção das alturas do triângulo (desenhadas a traço interrompido).
3.
As rectas de Simson de pontos diametralmente opostos no circuncírculo são perpendiculares entre si e intersectam-se na circunferência dos nove pontos.
Neste desenho, algumas rectas foram substituídas por segmentos de recta para melhor compreensão.
Os pontos P e P' são diametralmente opostos, sendo a recta verde a linha de Simson de P e a recta azul a linha de Simson de P'. São perpendiculares e intersectam-se no ponto I, cujo lugar geométrico define a circunferência dos nove pontos do triângulo (estes nove pontos são: os pontos médios dos lados do triângulo - a que foi atribuída a notação M, os pontos médios dos segmentos de recta que unem os lados do triângulo ao ortocentro - a que foi atribuída a notação Mo e os pés das alturas do triângulo - com a notação P).
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