Teorema de Napoleão

Este teorema é atribuído a Napoleão Bonaparte (1769-1821), que era muito interessado pela Matemática e especialmente por Geometria (ainda que o facto de Napoleão ter sido capaz de o formular é questionável, segundo H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, in "Geometry Revisited", página 63).
Segundo o teorema de Napoleão, os centros dos triângulos equiláteros desenhados externamente aos lados de qualquer triângulo definem um triângulo equilátero (o triângulo externo de Napoleão).
Analogamente, concluiu-se que os centros dos triângulos equiláteros desenhados internamente aos lados de qualquer triângulo também definem um triângulo equilátero, designado por triângulo interno de Napoleão.
No desenho seguinte, vemos os triângulos interno e externo de Napoleão do triângulo ABC (a traço expressivo) e verificamos que partilham o mesmo circuncentro (o ponto X).
No desenho seguinte, realizado com o programa C.a.R.Metal, a animação pré-definida movimenta o vértice B do triângulo ao longo da circunferência que o circunscreve, comprovando a validade deste teorema:



Pode experimentar outra animação, seleccionando a ferramenta respectiva. Selecione depois o vértice A ou o vértice C e clique duas vezes sobre a circunferência desenhada a traço interrompido.

Na Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das T.I.C." estamos a explorar este teorema, comprovando ainda os seguintes exercícios propostos no supracitado "Geometry Revisited":

1.
As rectas AM1, BM2 e CM3 são concorrentes:
(sendo M1, M2 e M3 os vértices do triângulo externo de Napoleão).



2.
As rectas A’M1, B’M2 e C’M3 são concorrentes no circuncentro de [ABC]
Esta afirmação torna-se evidente, pelo facto de aquelas rectas coincidirem com a mediatriz de cada lado do triângulo.



3.
Se desenharmos quadrados a partir de dois lados de um triângulo, os seus circuncírculos intersectam-se num círculo de diâmetro igual ao terceiro lado e os centros destes três círculos são vértices de um triângulo isósceles rectângulo.



4.
Os circuncírculos dos triângulos equiláteros externos intersectam-se no Primeiro Ponto de Fermat ou Ponto de Torricelli (ou ainda primeiro ponto isogónico).

Descoberto por Torricelli (1608-1647), após o desafio proposto por Fermat (1601-1665), para determinar o ponto no plano cuja soma das distâncias a três pontos A, B e C é mínima.
Este ponto só é válido para triângulos em que nenhum dos ângulos internos é maior do que 120º e pode também ser determinado pela intersecção entre [AA’], [BB’] e [CC’], que têm dimensões iguais.
Se o ponto F estiver dentro do triângulo, os ângulos entre os segmentos que ligam F a A, B e C serão iguais a 120º.
No desenho seguinte, os pontos A, B ou C podem ser movimentados ao longo da circunferência que circunscreve o triângulo ABC, de modo a verificar a veracidade desta afirmação.