Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
domingo, 13 de setembro de 2009
Construção realizada pela Professora Rosário Santos
A seguinte construção foi realizada pela Professora Rosário Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Construção realizada pelo Professor Fernando Carvalho Araújo
A seguinte construção foi realizada pelo Professor Fernando Carvalho Araújo, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi por ele seleccionada para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi por ele seleccionada para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Construções realizadas pelo Professor Augusto Marcelino
As seguintes construções foram realizadas pelo Professor Augusto Marcelino, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
sábado, 12 de setembro de 2009
Construções realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos Santos
As seguintes construções foram realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, estas são aquelas que ela próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
Das muitas construções que a Professora realizou, estas são aquelas que ela próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:
quarta-feira, 2 de setembro de 2009
Representação Axonométrica de um sólido composto por três cubos
Para a seguinte construção da representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, foram considerados os seguintes dados:
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z varia, entre 90º e 150º
- O conjunto de sólidos a representar situa-se no espaço do primeiro triedro
- O Cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do Cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o Cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.
Exta exercício foi adaptado dos exercícios 2 do Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A (Cód. 408) de 2003 – 2ª fase e de DGD-B (Cód. 109) de 1997 – 2ª fase).
Os planos coordenados frontal e lateral foram rebatidos sobre o plano axonométrico, tendo sido apenas necessário rebater o par de eixos respectivo.
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z varia, entre 90º e 150º
- O conjunto de sólidos a representar situa-se no espaço do primeiro triedro
- O Cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do Cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o Cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.
Exta exercício foi adaptado dos exercícios 2 do Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A (Cód. 408) de 2003 – 2ª fase e de DGD-B (Cód. 109) de 1997 – 2ª fase).
Os planos coordenados frontal e lateral foram rebatidos sobre o plano axonométrico, tendo sido apenas necessário rebater o par de eixos respectivo.
A Linha de Euler e a circunferência dos nove pontos
O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, descobriu o seguinte teorema:
- O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo são colineares.
A recta que os contém viria depois a ser designada por linha de Euler (desenhada, a seguir, a traço contínuo fino preto, contendo o segmento de recta HO).
Esta linha contém ainda o centro da circunferência dos nove pontos e outros centros importantes do triângulo (que não serão, por agora, referidos).
Convirá referir, em relação ao desenho seguinte, que:
- o ortocentro do triângulo (H) é determinado pela intersecção das suas alturas (a traço contínuo ocre);
- o circuncentro do triângulo (O) é determinado pela intersecção das mediatrizes dos seus lados (a traço contínuo vermelho);
- o baricentro (G) ou centróide do triângulo é determinado pela intersecção das suas medianas (a traço contínuo verde);
- A circunferência dos nove pontos (desenhada a traço expressivo azul-claro) contém os pés das alturas (Pa, Pb e Pc), os pontos médios dos lados (A', B' e C') e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro H a cada um dos vértices do triângulo (Ma, Mb e Mc).
- O centro (9P) da circunferência dos nove pontos corresponde ao ponto médio do segmento definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo (como atestam os traçados auxiliares interrompidos).
- A distância do baricentro ao circuncentro corresponde a um terço do segmento de recta definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo.
Euler demonstraria ainda, em 1765, que o triângulo órtico e o triângulo medial têm o mesmo circuncentro, conforme podemos verificar no desenho seguinte.
Poncelet (1788-1867)comprovaria depois que este corresponde ao centro da circunferência dos nove pontos, também designada por círculo de Feuerbach.
Redescobrindo o trabalho de Euler, Feuerbach (1800-1834) provou que a circunferência dos nove pontos intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo (como já vimos aqui).
De referir, ainda, o seguinte:
- o triângulo órtico PaPbPc (desenhado a traço expressivo ocre) é definido pelos pés das alturas do triângulo ABC;
- o triângulo medial (desenhado a traço expressivo vermelho) é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.
Fontes consultadas:
"Descobrindo e Dissecando um cristal Geométrico" - Douglas Hofstadter (artigo publicado no livro "Geometria Dinâmica" de vários autores, Ed. da Associação de Professores de Matemática)
"Geometry Revisited" - H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer (Ed. The Mathematical Association of America)
- O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo são colineares.
A recta que os contém viria depois a ser designada por linha de Euler (desenhada, a seguir, a traço contínuo fino preto, contendo o segmento de recta HO).
Esta linha contém ainda o centro da circunferência dos nove pontos e outros centros importantes do triângulo (que não serão, por agora, referidos).
Convirá referir, em relação ao desenho seguinte, que:
- o ortocentro do triângulo (H) é determinado pela intersecção das suas alturas (a traço contínuo ocre);
- o circuncentro do triângulo (O) é determinado pela intersecção das mediatrizes dos seus lados (a traço contínuo vermelho);
- o baricentro (G) ou centróide do triângulo é determinado pela intersecção das suas medianas (a traço contínuo verde);
- A circunferência dos nove pontos (desenhada a traço expressivo azul-claro) contém os pés das alturas (Pa, Pb e Pc), os pontos médios dos lados (A', B' e C') e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro H a cada um dos vértices do triângulo (Ma, Mb e Mc).
- O centro (9P) da circunferência dos nove pontos corresponde ao ponto médio do segmento definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo (como atestam os traçados auxiliares interrompidos).
- A distância do baricentro ao circuncentro corresponde a um terço do segmento de recta definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo.
Euler demonstraria ainda, em 1765, que o triângulo órtico e o triângulo medial têm o mesmo circuncentro, conforme podemos verificar no desenho seguinte.
Poncelet (1788-1867)comprovaria depois que este corresponde ao centro da circunferência dos nove pontos, também designada por círculo de Feuerbach.
Redescobrindo o trabalho de Euler, Feuerbach (1800-1834) provou que a circunferência dos nove pontos intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo (como já vimos aqui).
De referir, ainda, o seguinte:
- o triângulo órtico PaPbPc (desenhado a traço expressivo ocre) é definido pelos pés das alturas do triângulo ABC;
- o triângulo medial (desenhado a traço expressivo vermelho) é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.
Fontes consultadas:
"Descobrindo e Dissecando um cristal Geométrico" - Douglas Hofstadter (artigo publicado no livro "Geometria Dinâmica" de vários autores, Ed. da Associação de Professores de Matemática)
"Geometry Revisited" - H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer (Ed. The Mathematical Association of America)
quarta-feira, 15 de julho de 2009
Rebatimento do Plano de Perfil sobre o Plano Frontal de Projecção
O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de um plano alfa perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, cuja posição varia entre frontal (de afastamento nulo), vertical e de perfil.
Pertencente a este plano, está também representado um quadrado [ABCD], de lados oblíquos aos Planos de Projecção e com os vértices A e B pertencentes, respectivamente, ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizontal de Projecção.
Podemos considerar este desenho como uma demonstração animada do processo de rebatimento de um plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção:
Esta representação foi realizada em perspectiva cavaleira, sendo o ângulo entre os eixos axonometricos z e y igual a 135º e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico de 45º.
Para a representação dos elementos referidos, foi determinada a direcção de afinidade, sem a qual não se poderia determinar o respectivo contra-rebatimento.
O plano alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção, tendo aí sido determinada a verdadeira grandeza do quadrado [ABCD]. Este rebatimento foi executado no rebatimento do Plano Coordenado Horizontal sobre o Plano Axonométrico.
O desenho seguinte evidencia, com cor vermelha, alguns dos traçados auxiliares para esta construção:
Pertencente a este plano, está também representado um quadrado [ABCD], de lados oblíquos aos Planos de Projecção e com os vértices A e B pertencentes, respectivamente, ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizontal de Projecção.
Podemos considerar este desenho como uma demonstração animada do processo de rebatimento de um plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção:
Esta representação foi realizada em perspectiva cavaleira, sendo o ângulo entre os eixos axonometricos z e y igual a 135º e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico de 45º.
Para a representação dos elementos referidos, foi determinada a direcção de afinidade, sem a qual não se poderia determinar o respectivo contra-rebatimento.
O plano alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção, tendo aí sido determinada a verdadeira grandeza do quadrado [ABCD]. Este rebatimento foi executado no rebatimento do Plano Coordenado Horizontal sobre o Plano Axonométrico.
O desenho seguinte evidencia, com cor vermelha, alguns dos traçados auxiliares para esta construção:
Pirâmide de base hexagonal regular
O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de uma pirâmide com a base regular horizontal, contida no plano delta.
O eixo do prisma varia de posição entre vertical (quando o eixo coincide com a recta vertical e, tendo o vértice principal V a mesma abcissa e afastamento do centro da base O) e oblíqua (chegando a aresta lateral [AV] a pertencer à recta vertical v). Em qualquer um dos casos, o vértice V situa-se sempre abaixo do plano da base da pirâmide e a pirâmide ou é recta ou é oblíqua.
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.
O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.
Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e da base da pirâmide.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contra-rebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção da base.
O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta paralelo ao raio [OA] (representado previamente no rebatimento do plano coordenado horizontal) e situado abaixo do plano da base. Depois de determinarmos o vértice , podemos representar a pirâmide e as respectivas projecções, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.
O eixo do prisma varia de posição entre vertical (quando o eixo coincide com a recta vertical e, tendo o vértice principal V a mesma abcissa e afastamento do centro da base O) e oblíqua (chegando a aresta lateral [AV] a pertencer à recta vertical v). Em qualquer um dos casos, o vértice V situa-se sempre abaixo do plano da base da pirâmide e a pirâmide ou é recta ou é oblíqua.
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.
O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.
Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e da base da pirâmide.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contra-rebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção da base.
O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta paralelo ao raio [OA] (representado previamente no rebatimento do plano coordenado horizontal) e situado abaixo do plano da base. Depois de determinarmos o vértice , podemos representar a pirâmide e as respectivas projecções, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.
Prisma Hexagonal regular de bases horizontais
O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço primeiro diedro) e de um prisma hexagonal regular de altura variável, com as bases horizontais, contidas nos planos beta e delta.
A altura do prisma varia entre zero (quando o plano beta coincide com o Plano Horizontal de Projecção) e o valor da cota positiva do plano delta (quando o plano beta coincide com o plano delta).
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.
O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.
Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e de uma das bases do prisma.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contrarebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção do prisma e dos planos que contêm as bases, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.
A altura do prisma varia entre zero (quando o plano beta coincide com o Plano Horizontal de Projecção) e o valor da cota positiva do plano delta (quando o plano beta coincide com o plano delta).
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.
O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.
Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e de uma das bases do prisma.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contrarebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção do prisma e dos planos que contêm as bases, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.
quinta-feira, 9 de julho de 2009
Sombra produzida por um triângulo frontal
Na seguinte representação diédrica, temos um triângulo equilátero [ABC] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano frontal de afastamento variável.
Considerando a direcção luminosa convencional, determinou-se a sombra projectada pelo triângulo sobre os planos de projecção.
Dependendo da sua posição, o triângulo produz sombra sobre o Plano Horizontal de Projecção, sobre o Plano Frontal de Projecção ou em ambos os Planos de Projecção:
A variação do afastamento do plano que contém o triângulo deve ser previamente preparada, de modo a que a projecção horizontal do centro do triângulo (O1) se desloque ao longo de uma semi-circunferência de cota nula, não tangente ao Plano Frontal de Projecção (sugere-se que o seu diâmetro tenha 8 unidades de comprimento e que o seu centro diste nove unidades do Plano Frontal de Projecção).
A partir de O1, podemos definir O2 com a cota à escolha (sugerem-se 4 unidades) e a circunferência, tangente ao Plano Horizontal de Projecção, que circunscreverá o triângulo [ABC].
Definidas as projecções do triângulo, deve-se começar por determinar os pontos da figura pertencentes ao beta 13 e a respectiva sombra no eixo x, após o qual se desenham os limites da sombra projectada no Plano Frontal de Projecção, paralela aos lados do triângulo.
É uma construção ligeiramente demorada, mas cujo resultado é, creio, muito esclarecedor.
Considerando a direcção luminosa convencional, determinou-se a sombra projectada pelo triângulo sobre os planos de projecção.
Dependendo da sua posição, o triângulo produz sombra sobre o Plano Horizontal de Projecção, sobre o Plano Frontal de Projecção ou em ambos os Planos de Projecção:
A variação do afastamento do plano que contém o triângulo deve ser previamente preparada, de modo a que a projecção horizontal do centro do triângulo (O1) se desloque ao longo de uma semi-circunferência de cota nula, não tangente ao Plano Frontal de Projecção (sugere-se que o seu diâmetro tenha 8 unidades de comprimento e que o seu centro diste nove unidades do Plano Frontal de Projecção).
A partir de O1, podemos definir O2 com a cota à escolha (sugerem-se 4 unidades) e a circunferência, tangente ao Plano Horizontal de Projecção, que circunscreverá o triângulo [ABC].
Definidas as projecções do triângulo, deve-se começar por determinar os pontos da figura pertencentes ao beta 13 e a respectiva sombra no eixo x, após o qual se desenham os limites da sombra projectada no Plano Frontal de Projecção, paralela aos lados do triângulo.
É uma construção ligeiramente demorada, mas cujo resultado é, creio, muito esclarecedor.
Teorema de Pascal
O seguinte teorema, conhecido por teorema de Pascal ou do Hexágono Místico, foi descoberto por Blaise Pascal(1623-1662), com a idade de 16 anos, diz-nos que:
Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexágono inscrito numa curva cónica são colineares. A recta que contém estes pontos chama-se recta de Pascal.
Surpreendentemente, este teorema continua válido mesmo quando o hexágono não é regular ou sequer convexo e independentemente da cónica!
As seguintes construções animadas demonstram a validade deste teorema.
Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 definiram a cónica (o ponto 1 pertence a uma circunferência, para permitir a animação do desenho), enquanto que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’ são pontos pertencentes à cónica, a partir dos quais se definiram as seguintes rectas e pontos de intersecção:
- as rectas A’B’ e BC, intersectam-se no ponto X;
- as rectas B’C’ e AB intersectam-se no ponto Y;
- as rectas AA’ e CC’ intersectam-se no ponto Z.
Os pontos X, Y e Z pertencem a uma mesma recta p, desenhada a traço contínuo expressivo.
Pode movimentar os pontos 1, 2, 3, 4, 5, A, B, C, A', B' ou C' para verificar a validade do teorema (aconselho-o a utilizar, para tal o terceiro desenho, que é idêntico aos anteriores, mas não tem animação).
Neste primeiro desenho, a curva cónica é uma elipse, ainda que variável, de acordo com a deslocação do ponto 1 (para melhor visualização, o hexágono foi preenchido com uma mancha clara):
No segundo desenho, a cónica tanto é uma elipse como uma hipérbole:
Neste desenho, pode experimentar movimentar os pontos (excepto, claro X, Y e Z, que resultam de intersecções de elementos pré-definidos):
Para realizar esta construção com o C.a.R.Metal, utilize a ferramenta "Secção Cónica passando por 5 pontos" e defina-a com os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 (um destes pontos pode pertencer a uma circunferência, previamente desenhada, se quiser incluir a animação). Defina os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencentes à cónica, e a seguir as rectas referidas para determinar os pontos X, Y e Z.
A consultar: Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967
Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexágono inscrito numa curva cónica são colineares. A recta que contém estes pontos chama-se recta de Pascal.
Surpreendentemente, este teorema continua válido mesmo quando o hexágono não é regular ou sequer convexo e independentemente da cónica!
As seguintes construções animadas demonstram a validade deste teorema.
Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 definiram a cónica (o ponto 1 pertence a uma circunferência, para permitir a animação do desenho), enquanto que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’ são pontos pertencentes à cónica, a partir dos quais se definiram as seguintes rectas e pontos de intersecção:
- as rectas A’B’ e BC, intersectam-se no ponto X;
- as rectas B’C’ e AB intersectam-se no ponto Y;
- as rectas AA’ e CC’ intersectam-se no ponto Z.
Os pontos X, Y e Z pertencem a uma mesma recta p, desenhada a traço contínuo expressivo.
Pode movimentar os pontos 1, 2, 3, 4, 5, A, B, C, A', B' ou C' para verificar a validade do teorema (aconselho-o a utilizar, para tal o terceiro desenho, que é idêntico aos anteriores, mas não tem animação).
Neste primeiro desenho, a curva cónica é uma elipse, ainda que variável, de acordo com a deslocação do ponto 1 (para melhor visualização, o hexágono foi preenchido com uma mancha clara):
No segundo desenho, a cónica tanto é uma elipse como uma hipérbole:
Neste desenho, pode experimentar movimentar os pontos (excepto, claro X, Y e Z, que resultam de intersecções de elementos pré-definidos):
Para realizar esta construção com o C.a.R.Metal, utilize a ferramenta "Secção Cónica passando por 5 pontos" e defina-a com os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 (um destes pontos pode pertencer a uma circunferência, previamente desenhada, se quiser incluir a animação). Defina os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencentes à cónica, e a seguir as rectas referidas para determinar os pontos X, Y e Z.
A consultar: Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967
Subscrever:
Mensagens (Atom)
