Blogue da Aproged

exercício passo-a-passo do pentágono

2012-01-28T02:10:00.001Z

exercício interactivo do pentágono

2012-01-28T02:09:00.003Z

Construções realizadas no âmbito de uma Oficina de Formação - 2

2010-12-28T15:20:00.007Z

Os links seguintes direccionam-no/a para algumas construções dinâmicas realizadas pela Professora Vera Viana com o programa C.a.R.Metal, para apoio à Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o Apoio das T.I.C.":

Exploração de teoremas

Teorema de Varignon

Teorema de Napoleão

Linha de Simson

Teorema e ponto de Feuerbach

Teorema do Hexágono de Pappus

Pontos concíclicos

Teorema de Pascal

Linha de Euler e a circunferência dos nove pontos

Representação Diédrica de um prisma pentagonal

Representação Diédrica de uma pirâmide pentagonal oblíqua

Representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular - 1

Representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular - 2

Sombra produzida por um triângulo frontal

Prisma hexagonal regular de bases horizontais

Pirâmide hexagonal de base regular

Rebatimento do plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção

Representação Axonométrica de um sólido composto por três cubos

Esta Oficina de Formação realizou-se em Lisboa, entre Junho e Julho de 2009 no Colégio Santa Doroteia e entre Novembro e Dezembro de 2010 no ISCTE - Instituto Universitário de Lisboa.

Os trabalhos dos Professores que frequentaram esta Oficina de Formação estão publicados aqui:

Sessões realizadas em 2009

Sessões realizadas em 2010 (a editar)

Construções realizadas no âmbito de uma Oficina de Formação em 2009

2010-12-28T14:58:00.012Z

Os links seguintes direccionam-no/a para algumas das muitas construções dinâmicas, que, durante a Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o Apoio das T.I.C." (orientada pela professora Vera Viana, entre Junho e Julho de 2009, em Lisboa), foram executadas com o programa C.a.R.Metal, pelos seguintes Professores:

Professora Ana Paula Jesus

Professor Augusto Marcelino

Professora Cristina Borralho

Professora Cristina Gouveia dos Santos

Professor Fernando Carvalho Araújo

Professora Guida Lacerda

Professor João Casaca

Professor Luís Heitor

Professora Maria Helena Lobo

Professor Pedro Jesus - construções de geometria descritiva

Professor Pedro Jesus - explorações de teoremas

Professora Rosário Santos

Construções realizadas pela Professora Maria Cristina Borralho

2009-10-01T14:36:00.000+01:00

As seguintes construções foram realizadas pela Professora Maria Cristina Borralho, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, estas foram seleccionadas para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pela Professora Ana Paula Jesus

2009-10-01T14:00:00.004+01:00

As seguintes construções foram realizadas pela Professora Ana Paula Jesus, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, estas foram seleccionadas para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construção realizada pela Professora Guida Lacerda

2009-09-22T06:41:00.002+01:00

A seguinte construção foi realizada pela Professora Guida Lacerda, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construção realizada pela Professora Helena Lobo

2009-09-22T06:39:00.005+01:00

A seguinte construção foi realizada pela Professora Helena Lobo, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pelo Professor Pedro Jesus - Geometria Descritiva

2009-09-20T10:50:00.003+01:00

As seguintes construções foram realizadas pelo Professor Pedro Jesus, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construção realizada pelo Professor Luís Heitor

2009-09-20T09:22:00.008+01:00

A seguinte construção foi realizada pelo Professor Luís Heitor, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi a que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pelo Professor João Casaca

2009-09-17T11:36:00.009+01:00

As seguintes construções foram realizadas pelo Professor João Casaca, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pelo Professor Pedro Jesus - Teoremas

2009-09-13T14:08:00.026+01:00

Construção realizada pela Professora Rosário Santos

2009-09-13T13:48:00.010+01:00

A seguinte construção foi realizada pela Professora Rosário Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construção realizada pelo Professor Fernando Carvalho Araújo

2009-09-13T13:29:00.010+01:00

A seguinte construção foi realizada pelo Professor Fernando Carvalho Araújo, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi por ele seleccionada para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pelo Professor Augusto Marcelino

2009-09-13T13:25:00.014+01:00

As seguintes construções foram realizadas pelo Professor Augusto Marcelino, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Construções realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos Santos

2009-09-12T13:23:00.018+01:00

As seguintes construções foram realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.
Das muitas construções que a Professora realizou, estas são aquelas que ela próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:

Representação Axonométrica de um sólido composto por três cubos

2009-09-02T11:19:00.007+01:00

Para a seguinte construção da representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, foram considerados os seguintes dados:
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z varia, entre 90º e 150º
- O conjunto de sólidos a representar situa-se no espaço do primeiro triedro
- O Cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do Cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o Cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.

Exta exercício foi adaptado dos exercícios 2 do Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A (Cód. 408) de 2003 – 2ª fase e de DGD-B (Cód. 109) de 1997 – 2ª fase).
Os planos coordenados frontal e lateral foram rebatidos sobre o plano axonométrico, tendo sido apenas necessário rebater o par de eixos respectivo.

A Linha de Euler e a circunferência dos nove pontos

2009-09-02T08:42:00.011+01:00

O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, descobriu o seguinte teorema:
- O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo são colineares.
A recta que os contém viria depois a ser designada por linha de Euler (desenhada, a seguir, a traço contínuo fino preto, contendo o segmento de recta HO).
Esta linha contém ainda o centro da circunferência dos nove pontos e outros centros importantes do triângulo (que não serão, por agora, referidos).

Convirá referir, em relação ao desenho seguinte, que:
- o ortocentro do triângulo (H) é determinado pela intersecção das suas alturas (a traço contínuo ocre);
- o circuncentro do triângulo (O) é determinado pela intersecção das mediatrizes dos seus lados (a traço contínuo vermelho);
- o baricentro (G) ou centróide do triângulo é determinado pela intersecção das suas medianas (a traço contínuo verde);
- A circunferência dos nove pontos (desenhada a traço expressivo azul-claro) contém os pés das alturas (Pa, Pb e Pc), os pontos médios dos lados (A', B' e C') e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro H a cada um dos vértices do triângulo (Ma, Mb e Mc).
- O centro (9P) da circunferência dos nove pontos corresponde ao ponto médio do segmento definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo (como atestam os traçados auxiliares interrompidos).
- A distância do baricentro ao circuncentro corresponde a um terço do segmento de recta definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo.

Euler demonstraria ainda, em 1765, que o triângulo órtico e o triângulo medial têm o mesmo circuncentro, conforme podemos verificar no desenho seguinte.
Poncelet (1788-1867)comprovaria depois que este corresponde ao centro da circunferência dos nove pontos, também designada por círculo de Feuerbach.
Redescobrindo o trabalho de Euler, Feuerbach (1800-1834) provou que a circunferência dos nove pontos intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo (como já vimos aqui).
De referir, ainda, o seguinte:
- o triângulo órtico PaPbPc (desenhado a traço expressivo ocre) é definido pelos pés das alturas do triângulo ABC;
- o triângulo medial (desenhado a traço expressivo vermelho) é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.

Fontes consultadas:
"Descobrindo e Dissecando um cristal Geométrico" - Douglas Hofstadter (artigo publicado no livro "Geometria Dinâmica" de vários autores, Ed. da Associação de Professores de Matemática)
"Geometry Revisited" - H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer (Ed. The Mathematical Association of America)

Rebatimento do Plano de Perfil sobre o Plano Frontal de Projecção

2009-07-15T08:11:00.015+01:00

O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de um plano alfa perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, cuja posição varia entre frontal (de afastamento nulo), vertical e de perfil.
Pertencente a este plano, está também representado um quadrado [ABCD], de lados oblíquos aos Planos de Projecção e com os vértices A e B pertencentes, respectivamente, ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizontal de Projecção.
Podemos considerar este desenho como uma demonstração animada do processo de rebatimento de um plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção:

Esta representação foi realizada em perspectiva cavaleira, sendo o ângulo entre os eixos axonometricos z e y igual a 135º e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico de 45º.
Para a representação dos elementos referidos, foi determinada a direcção de afinidade, sem a qual não se poderia determinar o respectivo contra-rebatimento.
O plano alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção, tendo aí sido determinada a verdadeira grandeza do quadrado [ABCD]. Este rebatimento foi executado no rebatimento do Plano Coordenado Horizontal sobre o Plano Axonométrico.
O desenho seguinte evidencia, com cor vermelha, alguns dos traçados auxiliares para esta construção:

Pirâmide de base hexagonal regular

2009-07-15T07:55:00.010+01:00

O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de uma pirâmide com a base regular horizontal, contida no plano delta.
O eixo do prisma varia de posição entre vertical (quando o eixo coincide com a recta vertical e, tendo o vértice principal V a mesma abcissa e afastamento do centro da base O) e oblíqua (chegando a aresta lateral [AV] a pertencer à recta vertical v). Em qualquer um dos casos, o vértice V situa-se sempre abaixo do plano da base da pirâmide e a pirâmide ou é recta ou é oblíqua.
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.

O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.

Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e da base da pirâmide.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contra-rebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção da base.
O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta paralelo ao raio [OA] (representado previamente no rebatimento do plano coordenado horizontal) e situado abaixo do plano da base. Depois de determinarmos o vértice , podemos representar a pirâmide e as respectivas projecções, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.

Prisma Hexagonal regular de bases horizontais

2009-07-15T06:49:00.008+01:00

O desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço primeiro diedro) e de um prisma hexagonal regular de altura variável, com as bases horizontais, contidas nos planos beta e delta.
A altura do prisma varia entre zero (quando o plano beta coincide com o Plano Horizontal de Projecção) e o valor da cota positiva do plano delta (quando o plano beta coincide com o plano delta).
Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.

O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.

Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e de uma das bases do prisma.
Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.
Contrarebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção do prisma e dos planos que contêm as bases, utilizando um traçado adequado.
Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.

Sombra produzida por um triângulo frontal

2009-07-09T15:27:00.008+01:00

Na seguinte representação diédrica, temos um triângulo equilátero [ABC] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano frontal de afastamento variável.
Considerando a direcção luminosa convencional, determinou-se a sombra projectada pelo triângulo sobre os planos de projecção.
Dependendo da sua posição, o triângulo produz sombra sobre o Plano Horizontal de Projecção, sobre o Plano Frontal de Projecção ou em ambos os Planos de Projecção:

A variação do afastamento do plano que contém o triângulo deve ser previamente preparada, de modo a que a projecção horizontal do centro do triângulo (O1) se desloque ao longo de uma semi-circunferência de cota nula, não tangente ao Plano Frontal de Projecção (sugere-se que o seu diâmetro tenha 8 unidades de comprimento e que o seu centro diste nove unidades do Plano Frontal de Projecção).
A partir de O1, podemos definir O2 com a cota à escolha (sugerem-se 4 unidades) e a circunferência, tangente ao Plano Horizontal de Projecção, que circunscreverá o triângulo [ABC].
Definidas as projecções do triângulo, deve-se começar por determinar os pontos da figura pertencentes ao beta 13 e a respectiva sombra no eixo x, após o qual se desenham os limites da sombra projectada no Plano Frontal de Projecção, paralela aos lados do triângulo.
É uma construção ligeiramente demorada, mas cujo resultado é, creio, muito esclarecedor.

Teorema de Pascal

2009-07-09T14:48:00.008+01:00

O seguinte teorema, conhecido por teorema de Pascal ou do Hexágono Místico, foi descoberto por Blaise Pascal(1623-1662), com a idade de 16 anos, diz-nos que:
Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexágono inscrito numa curva cónica são colineares. A recta que contém estes pontos chama-se recta de Pascal.
Surpreendentemente, este teorema continua válido mesmo quando o hexágono não é regular ou sequer convexo e independentemente da cónica!

As seguintes construções animadas demonstram a validade deste teorema.
Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 definiram a cónica (o ponto 1 pertence a uma circunferência, para permitir a animação do desenho), enquanto que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’ são pontos pertencentes à cónica, a partir dos quais se definiram as seguintes rectas e pontos de intersecção:
- as rectas A’B’ e BC, intersectam-se no ponto X;
- as rectas B’C’ e AB intersectam-se no ponto Y;
- as rectas AA’ e CC’ intersectam-se no ponto Z.
Os pontos X, Y e Z pertencem a uma mesma recta p, desenhada a traço contínuo expressivo.

Pode movimentar os pontos 1, 2, 3, 4, 5, A, B, C, A', B' ou C' para verificar a validade do teorema (aconselho-o a utilizar, para tal o terceiro desenho, que é idêntico aos anteriores, mas não tem animação).

Neste primeiro desenho, a curva cónica é uma elipse, ainda que variável, de acordo com a deslocação do ponto 1 (para melhor visualização, o hexágono foi preenchido com uma mancha clara):

No segundo desenho, a cónica tanto é uma elipse como uma hipérbole:

Neste desenho, pode experimentar movimentar os pontos (excepto, claro X, Y e Z, que resultam de intersecções de elementos pré-definidos):

Para realizar esta construção com o C.a.R.Metal, utilize a ferramenta "Secção Cónica passando por 5 pontos" e defina-a com os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 (um destes pontos pode pertencer a uma circunferência, previamente desenhada, se quiser incluir a animação). Defina os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencentes à cónica, e a seguir as rectas referidas para determinar os pontos X, Y e Z.

A consultar: Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967

Representação diédrica de uma Pirâmide Hexagonal regular 2

2009-07-06T10:18:00.008+01:00

No desenho seguinte, temos a representação diédrica de uma pirâmide hexagonal regular de base horizontal, cujo vértice principal se situa acima do plano da base.
O vértice A, da base, desloca-se continuamente ao longo da circunferência que a circunscreve. As arestas laterais da pirâmide serão visíveis, em projecção frontal, de acordo com o afastamento dos respectivos vértices:

Observação: depois de determinadas as projecções do ponto O, do plano da base e da circunferência circunscrita ao hexágono, há que determinar A1, nela contido, e só depois o hexágono em verdadeira grandeza, a partir do qual se determina a respectiva projecção frontal. Posteriormente, determinar-se-á o vértice principal da pirâmide e as projecções da pirâmide.
Para que seja possível representar a projecção frontal das arestas laterais com um traçado adequado, há que definir, em projecção horizontal, um arco de circunferência de centro em O1, correspondente a um ângulo com a amplitude de 300º (a traço interrompido, no desenho). A intersecção deste arco com a projecção horizontal das arestas laterais da pirâmide possibilitará a determinação, em projecção frontal, das respectivas visibilidades.
Esta opção é, obviamente, um dos muitos métodos possíveis de resolver o problema.

Representação diédrica de uma Pirâmide Hexagonal regular 1

2009-07-03T12:58:00.014+01:00

No desenho seguinte, temos a representação diédrica de uma pirâmide hexagonal regular de base horizontal, de altura variável, já que o seu vértice principal tanto se situa acima como abaixo do plano da base.
Esta deslocação do vértice determina que as arestas laterais da pirâmide só serão visíveis, na projecção horizontal, quando o vértice se situar acima do plano da base. Estas arestas serão invisíveis nesta projecção se o plano da base tiver maior cota do que o vértice:

Observação: depois de determinadas as projecções do ponto O, do plano da base e da circunferência circunscrita ao hexágono, há que determinar A1, nela contido, e só depois o hexágono em verdadeira grandeza, a partir do qual se determina a respectiva projecção frontal.
O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta correspondente à projecção frontal da recta vertical que contém o eixo da pirâmide.

A determinação do traçado adequado para a visibilidade das arestas laterais na projecção horizontal, decorre da representação de uma semi-recta auxiliar que intersecta uma das arestas laterais da pirâmide apenas quando esta se situa acima do plano da base, permitindo definir os pontos X e Y, que, por sua vez, possibilitam-nos a construção de 12 segmentos de recta correspondentes à representação das arestas laterais visíveis, em projecção horizontal, com um traçado expressivo.
Neste desenho, estes elementos foram desenhados a verde:

Para quem quiser avançar um pouco mais neste tipo de representações, utilizando os traçados adequados e convenientemente expressivos de que o software utilizado não dispõe, poderá, aplicando um raciocínio idêntico ao do desenho anterior (para a determinação dos pontos auxiliares Y e Z), e mediante um pouco mais de trabalho, realizar a seguinte representação:

Bom trabalho!

Teorema do Hexágono de Pappus

2009-07-01T13:03:00.002+01:00

O teorema do hexágono de Pappus de Alexandria (c. 290 – c. 350) diz-nos o seguinte:
Se A, C e E forem três pontos de uma recta e B, D e F forem três pontos de outra recta, e se as rectas AB, CD e EF intersectarem, respectivamente, as rectas DE, FA e BC, então os três pontos de intersecção L, M e N são colineares.
Na construção dinâmica seguinte, temos duas rectas r e m, cada uma delas com três pontos com as notações referidas. Cada um destes pontos pode ser movimentado, seleccionando a ferramenta Mover e arrastando o ponto ao longo da recta a que pertence.
A animação pré-definida permite que as rectas m e r sejam concorrentes ou paralelas (quando a recta m coincide com a recta desenhada a traço interrompido).
Ao longo da animação, os três pontos de intersecção L, M e N mantêm-se sempre colineares, pertencendo à recta p, desenhada a traço expressivo azul:

Representação diédrica de uma Pirâmide Pentagonal oblíqua

2009-06-28T10:35:00.013+01:00

Nesta construção, um pentágono regular frontal é a base de uma pirâmide oblíqua situada no espaço do primeiro diedro.
O eixo da pirâmide é horizontal e faz um ângulo de 38º com o Plano Frontal de Projecção, com abertura para a esquerda.
O afastamento do vértice principal da pirâmide é variável, situando-se entre o Plano Frontal de Projecção e o plano que contém a base da pirâmide.

Observação:
Depois de desenhar as projecções da base da pirâmide, há que começar pela definição, em projecção horizontal, da recta que contém o eixo da pirâmide e nela definir a projecção horizontal do vértice, a partir do qual se poderá concluir a construção.
Os elementos desenhados a verde (o arco de circunferência, os pontos de intersecção e os segmentos de rectas perpendicular e paralelo a [A2E2]) são construções auxiliares que nos permitem representar as arestas laterais da pirâmide, na projecção frontal, com um traçado adequado.
Este procedimento auxiliar é um exemplo de outras possibilidades que nos permitiriam resolver o problema.

Pontos concíclicos

2009-06-28T10:35:00.012+01:00

Ross Horsberger, no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry", refere que as bissectrizes adjacentes de qualquer quadrilátero se intersectam sempre em quatro pontos concíclicos.
A construção seguinte pretende confirmar a veracidade desta afirmação.

A animação pré-definida movimenta o vértice D sobre a circunferência que contém o ponto M1, determinando que o quadrilátero [ABCD] nunca seja cíclico, porque os quatro vértices nunca pertencem à mesma circunferência.
As rectas a, b, c e d são, respectivamente, as bissectrizes dos ângulos de vértice em A, B, C e D. As bissectrizes adjacentes intersectam-se nos pontos W (entre a e b), X (entre c e b), Y (entre c e d) e Z (entre a e d).
Podemos verificar que estes quatro pontos (que definem um polígono azul claro) são concíclicos, porque pertencem à mesma circunferência (que está desenhada a vermelho).

Pode experimentar parar a animação e seleccionar a ferramenta "Mover" para:
- mover o vértice D livremente;
- mover M1 ou M2, modificando o raio das circunferências desenhadas a traço interrompido;
- mover os vértices A, B ou C sobre a circunferência que os contém.
Também pode introduzir uma nova animação, se, depois de seleccionar a ferramenta respectiva, clicar uma vez no ponto D e duas vezes sobre a circunferência que contém os vértices A, B e C. Neste caso, o quadrilátero [ABCD] será cíclico, mas a veracidade da afirmação manter-se-á.
Se movimentar quaisquer outros elementos e quiser voltar ao desenho inicial, actualize (em F5) ou faça um "refresh" da página.

Representação diédrica de um Prisma Pentagonal

2009-06-28T09:41:00.002+01:00

A construção seguinte corresponde à representação, no Sistema Diédrico, de um prisma pentagonal de bases regulares e frontais, situado no espaço do primeiro diedro.
O eixo e as arestas laterais do prisma mantêm-se sempre paralelos ao Plano Horizontal de Projecção, variando de posição entre horizontal (com abertura para a esquerda em relação ao P.F.P.) e de topo, dado que o ângulo entre estas arestas e o Plano Frontal de Projecção varia entre 30º e 90º:

Observação:
Para que a construção resulte, a animação deve ser preparada previamente na projecção horizontal, depois de definidas as projecções da base de maior afastamento do prisma. A projecção horizontal do centro da base de menor afastamento do prisma deve deslocar-se ao longo de um arco de circunferência correspondente à amplitude pretendida para o ângulo entre o eixo e o Plano Frontal de Projecção.
Depois de comprovar a animação correcta destes elementos, pode concluir a restante construção.

Teorema e Ponto de Feuerbach

2009-06-28T09:10:00.003+01:00

O matemático Karl Feuerbach (1800-1834) provou que, para qualquer triângulo, existe uma circunferência que contém nove dos seus pontos notáveis: os pontos médios dos lados, os pés das alturas e os pontos médios dos segmentos de recta que unem o ortocentro a cada um dos vértices do triângulo.
Em 1822, Feuerbach comprovou ainda que esta circunferência dos nove pontos (designada também por circunferência de Euler ou de Feuerbach) intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo, ou dito de outra forma, a circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência inscrita ao triângulo e às três circunferências exinscritas ao triângulo.
A circunferência inscrita ao triângulo e a circunferência dos nove pontos intersectam-se no ponto de Feuerbach (F), conforme podemos ver na seguinte animação:

Observações:
O incentro I do triângulo é determinado pela intersecção entre as bissectrizes interiores do triângulo.
O ortocentro O é determinado pela intersecção entre as alturas do triângulo.
Os centros dos triângulos exinscritos são determinados pela intersecção entre as bissectrizes interiores e as bissectrizes dos ângulos exteriores adjacentes.
A circunferência dos nove pontos foi desenhada a traço expressivo de cor azul.

Linha de Simson

2009-06-22T05:55:00.002+01:00

Explorando outro teorema através de uma construção dinâmica, constatamos que os pés das perpendiculares aos lados de um triângulo são colineares, definindo uma linha a que foi atribuída o nome de "Linha de Simson".
No entanto, esta situação verificar-se-á se e só se o ponto que as contiver pertencer ao circuncírculo do triângulo:

Apesar de não existirem provas, esta linha foi atribuída ao matemático britânico Robert Simson (1687-1768) que, com o seu trabalho, muito contribuiu para a Geometria e para a Aritmética. Crê-se, contudo, que foi descoberta por William Wallace em 1797 (segundo H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, "Geometry Revisited", pg 41).

Podemos ainda verificar as seguintes particularidades decorrentes deste teorema:

1.
Se o triângulo [DEF] for equilátero, o circuncentro O e P um ponto qualquer do circuncírculo, então, a linha de Simson do ponto P intersecta o segmento de recta OP no seu ponto médio.
O lugar geométrico deste ponto médio descreve a circunferência inscrita ao triângulo equilátero (a traço expressivo vermelho):

2.
A recta de Simson de um ponto do circuncírculo divide a meio o segmento que une esse ponto ao ortocentro do triângulo.
O ortocentro é determinado através da intersecção das alturas do triângulo (desenhadas a traço interrompido).

3.
As rectas de Simson de pontos diametralmente opostos no circuncírculo são perpendiculares entre si e intersectam-se na circunferência dos nove pontos.

Neste desenho, algumas rectas foram substituídas por segmentos de recta para melhor compreensão.
Os pontos P e P' são diametralmente opostos, sendo a recta verde a linha de Simson de P e a recta azul a linha de Simson de P'. São perpendiculares e intersectam-se no ponto I, cujo lugar geométrico define a circunferência dos nove pontos do triângulo (estes nove pontos são: os pontos médios dos lados do triângulo - a que foi atribuída a notação M, os pontos médios dos segmentos de recta que unem os lados do triângulo ao ortocentro - a que foi atribuída a notação Mo e os pés das alturas do triângulo - com a notação P).

Teorema de Napoleão

2009-06-13T13:38:00.003+01:00

Este teorema é atribuído a Napoleão Bonaparte (1769-1821), que era muito interessado pela Matemática e especialmente por Geometria (ainda que o facto de Napoleão ter sido capaz de o formular é questionável, segundo H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer, in "Geometry Revisited", página 63).
Segundo o teorema de Napoleão, os centros dos triângulos equiláteros desenhados externamente aos lados de qualquer triângulo definem um triângulo equilátero (o triângulo externo de Napoleão).
Analogamente, concluiu-se que os centros dos triângulos equiláteros desenhados internamente aos lados de qualquer triângulo também definem um triângulo equilátero, designado por triângulo interno de Napoleão.
No desenho seguinte, vemos os triângulos interno e externo de Napoleão do triângulo ABC (a traço expressivo) e verificamos que partilham o mesmo circuncentro (o ponto X).
No desenho seguinte, realizado com o programa C.a.R.Metal, a animação pré-definida movimenta o vértice B do triângulo ao longo da circunferência que o circunscreve, comprovando a validade deste teorema:

Pode experimentar outra animação, seleccionando a ferramenta respectiva. Selecione depois o vértice A ou o vértice C e clique duas vezes sobre a circunferência desenhada a traço interrompido.

Na Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das T.I.C." estamos a explorar este teorema, comprovando ainda os seguintes exercícios propostos no supracitado "Geometry Revisited":

1.
As rectas AM1, BM2 e CM3 são concorrentes:
(sendo M1, M2 e M3 os vértices do triângulo externo de Napoleão).

2.
As rectas A’M1, B’M2 e C’M3 são concorrentes no circuncentro de [ABC]
Esta afirmação torna-se evidente, pelo facto de aquelas rectas coincidirem com a mediatriz de cada lado do triângulo.

3.
Se desenharmos quadrados a partir de dois lados de um triângulo, os seus circuncírculos intersectam-se num círculo de diâmetro igual ao terceiro lado e os centros destes três círculos são vértices de um triângulo isósceles rectângulo.

4.
Os circuncírculos dos triângulos equiláteros externos intersectam-se no Primeiro Ponto de Fermat ou Ponto de Torricelli (ou ainda primeiro ponto isogónico).

Descoberto por Torricelli (1608-1647), após o desafio proposto por Fermat (1601-1665), para determinar o ponto no plano cuja soma das distâncias a três pontos A, B e C é mínima.
Este ponto só é válido para triângulos em que nenhum dos ângulos internos é maior do que 120º e pode também ser determinado pela intersecção entre [AA’], [BB’] e [CC’], que têm dimensões iguais.
Se o ponto F estiver dentro do triângulo, os ângulos entre os segmentos que ligam F a A, B e C serão iguais a 120º.
No desenho seguinte, os pontos A, B ou C podem ser movimentados ao longo da circunferência que circunscreve o triângulo ABC, de modo a verificar a veracidade desta afirmação.

Exploração do Teorema de Varignon

2009-06-08T16:20:00.004+01:00

O matemático francês Pierre Varignon (1654-1722) concluiu que a figura definida pelos pontos médios de qualquer quadrângulo é sempre um paralelogramo, de lados paralelos às suas diagonais. A área do paralelogramo corresponde sempre a metade da área do quadrângulo.

Na Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das T.I.C." estamos a explorar este teorema, com recurso ao programa de geometria dinâmica C.a.R.Metal.
Pode parar a animação clicando no desenho e, seleccionando a ferramenta mover, movimentar os elementos desenhados.
Se seleccionar a ferramenta de animação, pode verificar as várias configurações do paralelogramo de Varignon se [ABCD] for cíclico (selecionando o vértice D e clicando duas vezes na circunferência que contém o ponto M1), ou se [ABCD] não for cíclico (selecionando o vértice D e clicando duas vezes na circunferência que contém M2. O raio desta circunferência pode ser alterado movimentando M2).

E comprovamos a sua validade para diferentes configurações de quadrângulos:

- Se [ABCD] for um papagaio:

- Se [ABCD] for um papagaio cíclico:

- Se [ABCD] for um quadrilátero tangencial:

- Se [KLMN] for bicêntrico ([ABCD] é o quadrilátero ortodiagonal que nos permitiu desenhar [KLMN]):

Pode perceber melhor a construção de um quadrângulo bicêntrico através deste diaporama, realizado com o C.a.R.Metal.
Para visualizar a sequência dos diapositivos, deverá clicar em "Próximo", no canto superior direito da página ou, sucessivamente, nos ficheiros da coluna da esquerda.

O Blogue da Aproged renova-se...

2009-06-08T15:50:00.000+01:00

Reunida a 30/04/2009, a Direcção da Aproged decidiu renovar este blogue, dedicando-o à divulgação dos trabalhos realizados no âmbito das Acções de Formação do nosso Centro de Formação.
Pretendemos, desta forma, dar a oportunidade aos nossos formandos de divulgar o seu trabalho, promovendo a partilha de experiências, de materiais e de opiniões.
Brevemente incluiremos aqui alguns dos trabalhos que estão presentemente a ser realizados através da exploração de software de geometria dinâmica.
Continuamos a aguardar os Vossos comentários, críticas ou sugestões por e-mail.
A Direcção da Aproged agradece.

Modelos tridimensionais para o ensino da Geometria Descritiva

2008-05-05T13:55:00.000+01:00

Porque este assunto poderá ser do interesse de mais professores, apresentamos aqui os comentários da postagem "Objectivos do Blogue da Aproged":
O grupo 600 da Escola Secundária do Pombal colocou-nos a seguinte questão:
"Este comentário é mais uma solicitação de informação que esperamos nos possam facultar. A questão prende-se com a aquisição dos modelos tridimensionais que o programa da disciplina de Geometria Descritiva refere, os quais não conseguimos encontrar disponiveis para aquisição.
Agradecemos antecipadamente,Grupo 600 da Escola Secundária de Pombal"
Esta foi a nossa resposta:
"Caros colegas da Escola Secundária do Pombal,
Os modelos tridimensionais, referidos no programa da disciplina, nunca chegaram a ser construidos em série e comercializados pela Aproged com o apoio do Ministério da Educação, por terem custos elevados.No entanto,a sua comercialização pela Aproged é uma hipótese que poderemos considerar futuramente, que implicará, contudo, a revisão dos estatutos da associação.
Habitualmente, os professores constroem-nos ou mandam-nos construir em placas acrílicas e/ou madeira, a título individual ou pelo grupo/departamento, para utilização durante as aulas.
Alguns exemplares destes materiais tridimensionais foram exibidos durante o VII Encontro Nacional da Aproged. Futuramente, será publicada, on-line, no site da Aproged, uma página com fotografias dos mesmos."
Esperamos ter esclarecido as questões dos nossos colegas.
Se tiverem outras questões que nos queiram colocar, poderão fazê-lo por esta via ou por e-mail.

Objectivos do blogue da Aproged

2008-03-08T10:01:00.000Z

Saudações a todos.
Com este blogue queremos criar mais possibilidades de diálogo e de partilha de experiências com todos os nossos visitantes, associados da Aproged ou não, na medida das nossas possibilidades enquanto associação e mediante o tempo disponível.
Desejamos um bom trabalho para todos.
Pela direcção da Aproged,
Vera Viana