tag:blogger.com,1999:blog-80392887693466503362024-03-08T06:05:53.792+00:00Blogue da AprogedAprogedhttp://www.blogger.com/profile/06544564464934672884noreply@blogger.comBlogger35125tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-29128256980197456512014-06-13T16:43:00.003+01:002014-06-17T12:00:06.322+01:00Modalidades de associado/a da AprogedEntre os dias 20 de Junho e 20 de Agosto de 2014, decorrerá um projecto de discussão pública que tem por objectivo a definição das diferentes modalidades de associado/a que a Aproged pretende incluir no seu <a href="http://www.aproged.pt/regulamentointerno.html">Regulamento Interno</a>.<br />
Quaisquer sugestões ou comentários recebidos em resposta a este <i>post</i> ou através de <a href="mailto:aproged@aproged.pt">aproged@aproged.pt</a> serão considerados pela Direcção da Aproged para a reformulação da proposta de revisão de regulamento interno que será apresentada durante a Assembleia-geral extraordinária a realizar em Setembro de 2014.<br />
<br />
As modalidades de associado, a seguir transcritas, constam <a href="http://www.aproged.pt/modalidades.html">desta página web</a>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<b>ASSOCIADO INDIVIDUAL</b></div>
</div>
<u><b>associado/a de pleno direito</b></u><br />
tem as quotas em dia e beneficia de inscrições de menor valor em todas as actividades da Associação; recebe circulares por e-mail ou por carta e um exemplar do boletim da Aproged (desde 2013, apenas em CD).<br />
Se comprar a edição impressa do boletim, não paga portes de envio.<br />
Pode publicar artigos no boletim da Aproged, mediante parecer favorável da comissão específica.<br />
<div style="text-align: right;">
Valor anual de quotas: 35,00€<br />
<div style="text-align: left;">
<b><u>associado/a residente no estrangeiro</u></b></div>
</div>
é um/a associado/a de pleno direito que reside no estrangeiro.<br />
<div style="text-align: right;">
Valor anual de quotas: 35,00€<br />
<div style="text-align: left;">
<b><u>associado/a aposentado/a</u></b></div>
</div>
é um associado/a de pleno direito que se encontra em situação de aposentação e que paga quotas de valor inferior.<br />
<div style="text-align: right;">
Valor anual de quotas: 20,00€<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
<b><u>@-associado/a</u></b></div>
</div>
@-associado/a - é um/a associado/a que perdeu os seus direitos, porque não paga quotas há mais de 24 meses, período durante o qual continua a receber circulares por e-mail. Não beneficia de redução alguma nas actividades da Associação.<br />
O/a @-associado/a que pretenda regressar à situação de associado/a de pleno direito deve pagar as quotas em atraso.<br />
<div style="text-align: right;">
<div style="text-align: right;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<b><u>associado/a sem direitos</u></b></div>
<div style="text-align: justify;">
é um/a @-associado/a que perdeu os seus direitos, porque não paga quotas há mais de 27 meses (24 meses + 1 trimestre). Não recebe circulares nem beneficia de redução alguma nas actividades da Associação.</div>
<div style="text-align: justify;">
Se pretender regressar à situação de associado/a de pleno direito, deve reinscrever-se como novo/a associado/a, pagando jóia de inscrição e o valor de quotas dos trimestres correspondentes ao ano em que se inscreve. Por exemplo: um @-associado/a que não pague quotas em 2014 e em 2015, pode reinscrever-se novamente como associado/a em 2016. Se fizer a sua inscrição em Julho desse ano, pagará a jóia de inscrição (5€) e 2 trimestres de quotas de 2016 (17,50€).<br />
Para se reinscrever como novo associado/a, deve enviar-nos <a href="http://www.aproged.pt/pdf/proposta.pdf">este documento</a> preenchido.</div>
<div style="text-align: justify;">
Sobre a liquidação de quotas, por favor consulte <a href="http://www.aproged.pt/pdf/quotas.pdf">este documento</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<b>ASSOCIADO INSTITUCIONAL</b></div>
</div>
Tem as quotas em dia e os seus representantes beneficiam de inscrições de menor valor nas actividades da Associação; recebe circulares por e-mail e um exemplar em CD do boletim da Aproged. Se comprar a edição impressa do boletim, não paga portes de envio.<br />
<div style="text-align: right;">
Valor anual de quotas: 45,00€</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<b>ASSOCIADO HONORÁRIO</b></div>
</div>
Todas as pessoas singulares ou colectivas, nacionais ou estrangeiras, que, pela sua categoria científica ou pedagógica ou pelos serviços relevantes prestados à Aproged, sejam reconhecidas como tal pela Assembleia Geral.<br />
<div style="text-align: right;">
Valor anual do quotas: 00,00€. </div>
<br />
<br />Aprogedhttp://www.blogger.com/profile/06544564464934672884noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-70914561817057359252010-12-28T15:20:00.007+00:002010-12-30T05:31:46.539+00:00Construções realizadas no âmbito de uma Oficina de Formação - 2<div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; ">Os links seguintes<span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "> direccionam-no/a para algumas construções dinâmicas </span></span><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; ">realizadas pela Professora Vera Viana com o programa C.a.R.Metal, para apoio à </span><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; ">Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o Apoio das T.I.C.":</span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><b><br /></b></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><b>Exploração de teoremas</b></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/exploracao-do-teorema-de-varignon.html">Teorema de Varignon</a></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/o-teorema-que-exploraremos-seguir-e_540.html">Teorema de Napoleão</a></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/explorando-outro-teorema-atraves-de-uma.html">Linha de Simson</a></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/q.html">Teorema e ponto de Feuerbach</a></span></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/teorema-do-hexagono-de-pappus.html">Teorema do Hexágono de Pappus</a></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/blog-post_2155.html">Pontos concíclicos</a></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span"><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/blog-post.html">Teorema de Pascal</a></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/o-matematico-suico-leonard-euler-1707.html">Linha de Euler e a circunferência dos nove pontos</a></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><br /></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/representacao-diedrica-de-um-prisma.html">Representação Diédrica de um prisma pentagonal</a></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/blog-post_28.html">Representação Diédrica de uma pirâmide pentagonal oblíqua</a></span></span></div><div><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/representacao-diedrica-de-uma-piramide.html">Representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular - 1</a></span></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/representacao-diedrica-de-uma-piramide_06.html">Representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular - 2</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/blog-post_09.html">Sombra produzida por um triângulo frontal</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/o-desenho-seguinte-corresponde.html">Prisma hexagonal regular de bases horizontais</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/o-desenho-seguinte-corresponde_15.html">Pirâmide hexagonal de base regular</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/07/o-desenho-seguinte-corresponde_229.html">Rebatimento do plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/re.html">Representação Axonométrica de um sólido composto por três cubos</a></div><div><br /></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px;">Esta Oficina de Formação realizou-se em Lisboa, entre Junho e Julho de 2009 no </span></span><a href="http://www.csdoroteia.edu.pt/" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 15px; ">Colégio Santa Doroteia</a><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px;"> e entre Novembro e Dezembro de 2010 no </span></span><a href="http://iscte.pt/" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 15px; ">ISCTE - Instituto Universitário de Lisboa</a>.</span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span">Os trabalhos dos Professores que frequentaram esta Oficina de Formação estão publicados aqui:</span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><br /></span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2010/12/construcoes-realizadas-no-ambito-de-uma.html">Sessões realizadas em 2009</a></span></span></div><div><span class="Apple-style-span"><br /></span></div><div><span class="Apple-style-span">Sessões realizadas em 2010 (a editar)</span></div><div><span class="Apple-style-span"><br /></span></div><div><span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span"><br /></span></span></div><div style="font-size: 16px; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; "><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "><br /></span></div></span></span></div>Aprogedhttp://www.blogger.com/profile/06544564464934672884noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-67694470752022273932010-12-28T14:58:00.012+00:002010-12-28T15:47:51.197+00:00Construções realizadas no âmbito de uma Oficina de Formação em 2009<div>Os links seguintes<span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px;"> direccionam-no/a para algumas das muitas construções dinâmicas, que, durante a Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o Apoio das T.I.C." (orientada pela professora Vera Viana, entre Junho e Julho de 2009, em Lisboa), </span></span><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; ">foram executadas com o programa C.a.R.Metal,</span><span class="Apple-style-span" style="font-size: 15px; "> pelos seguintes Professores:</span></div><div><br /></div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/seguinte-construcao-foi-realizada-pela.html">Professora Ana Paula Jesus</a><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/seguinte-construcao-foi-realizada-pela.html"></a><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post_13.html">Professor Augusto Marcelino</a><br /><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/seguinte-construcao-foi-realizada-pela.html"></a><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/as-seguintes-construcoes-foram.html">Professora Cristina Borralho</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/as-seguintes-construcoes-foram.html"></a><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post.html">Professora Cristina Gouveia dos Santos</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post.html"></a><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post_7242.html">Professor Fernando Carvalho Araújo</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/construcao-realizada-pela-professora.html">Professora Guida Lacerda</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/as-seguintes-construcoes-foram.html">Professor João Casaca</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post_7242.html"></a><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/construcao-realizada-pelo-professor.html">Professor Luís Heitor</a><br /><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/seguinte-construcao-foi-realizada-pela.html">Professora Maria Helena Lobo</a></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/11/as-seguintes-construcoes-foram.html"></a><br /><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/construcoes-realizadas-pelo-professor.html">Professor Pedro Jesus - construções de geometria descritiva</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/os-seguintes-desenhos-foram-realizados_8956.html">Professor Pedro Jesus - explorações de teoremas</a></div><div><br /></div><div><a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/09/blog-post_7844.html">Professora Rosário Santos</a></div><div><br /></div></div></div></div>Aprogedhttp://www.blogger.com/profile/06544564464934672884noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-51840411147377214212009-10-01T14:36:00.000+01:002009-11-12T14:40:29.647+00:00Construções realizadas pela Professora Maria Cristina BorralhoAs seguintes construções foram realizadas pela Professora Maria Cristina Borralho, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que a Professora realizou, estas foram seleccionadas para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
<br />
<center><iframe frameborder="0" height="800" src="http://www.aproged.pt/axonometriasegfase2005.html" width="800"></iframe></center><br />
<br />
<center><iframe frameborder="0" height="800" src="http://www.aproged.pt/exame07segfase.html" width="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-32971642318787541102009-10-01T14:00:00.004+01:002009-11-12T14:51:34.807+00:00Construções realizadas pela Professora Ana Paula JesusAs seguintes construções foram realizadas pela Professora Ana Paula Jesus, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />Das muitas construções que a Professora realizou, estas foram seleccionadas para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br /><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/prismaemplanoobliquo.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/piramidepentseccao.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-1754737331656850472009-09-22T06:41:00.002+01:002009-10-12T03:55:51.701+01:00Construção realizada pela Professora Guida LacerdaA seguinte construção foi realizada pela Professora Guida Lacerda, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
<br />
<center><iframe src="http://www.aproged.pt/exerc4_exame091fase.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-2120712652501989042009-09-22T06:39:00.005+01:002009-10-12T03:57:14.270+01:00Construção realizada pela Professora Helena LoboA seguinte construção foi realizada pela Professora Helena Lobo, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
<br />
<center><iframe src="http://www.aproged.pt/prisma2.html"frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-28467006614432661432009-09-20T10:50:00.003+01:002009-10-12T04:09:43.952+01:00Construções realizadas pelo Professor Pedro Jesus - Geometria DescritivaAs seguintes construções foram realizadas pelo Professor Pedro Jesus, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br /><br /><strong></strong><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/hexagonalpj.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/axonometriaclinogonaloctaedroregular.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/axonometriadoisprismas.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/doisparalelepipedos.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/piramideaxonometriaepura.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/perfilpfppj.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center><br /><br /><center><iframe height="800" src="http://www.aproged.pt/perfilpfpcubo.html" frameborder="0" width="800"></iframe></center>Aprogedhttp://www.blogger.com/profile/06544564464934672884noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-44603901250907316462009-09-20T09:22:00.008+01:002009-10-12T03:58:16.853+01:00Construção realizada pelo Professor Luís HeitorA seguinte construção foi realizada pelo Professor Luís Heitor, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi a que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
<br />
<center><iframe src="http://www.aproged.pt/piramidepentagonal.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-5056483922826489262009-09-17T11:36:00.009+01:002009-10-12T04:00:15.217+01:00Construções realizadas pelo Professor João CasacaAs seguintes construções foram realizadas pelo Professor João Casaca, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
<br />
<center><iframe src="http://www.aproged.pt/mudancadiedros.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
<br />
<center><iframe src="http://www.aproged.pt/prismaobliquo.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/separatrizsombra.html" frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/tracosrecta.html" frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-24063413696783043162009-09-13T14:08:00.026+01:002009-10-12T04:01:51.654+01:00Construções realizadas pelo Professor Pedro Jesus - TeoremasAs seguintes construções foram realizadas pelo Professor Pedro Jesus, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/eulerorticomedialpj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/eulerpedalpj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/eulerpj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/feuerbachpj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/napoleaopj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/pappuspj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/honsbergerpj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/napoleaoconcorrentescircuncentro.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/napoleaoconcorrentespj.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/napoleaoprimeiropontofermat.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<strong></strong><center><iframe src="http://www.aproged.pt/napoleaotrianguloisoscelesrectangulo.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-49285711894157840822009-09-13T13:48:00.010+01:002009-10-12T03:56:36.293+01:00Construção realizada pela Professora Rosário SantosA seguinte construção foi realizada pela Professora Rosário Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que a Professora realizou, esta foi a que ela própria seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/708-2fase-2009-ortogonal.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-81494023359675533932009-09-13T13:29:00.010+01:002009-10-12T03:57:43.772+01:00Construção realizada pelo Professor Fernando Carvalho AraújoA seguinte construção foi realizada pelo Professor Fernando Carvalho Araújo, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que o Professor realizou, esta foi por ele seleccionada para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/examegdintplanos.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-64896241029530945982009-09-13T13:25:00.014+01:002009-10-12T03:59:29.126+01:00Construções realizadas pelo Professor Augusto MarcelinoAs seguintes construções foram realizadas pelo Professor Augusto Marcelino, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que o Professor realizou, estas são aquelas que ele próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/cor2suave1.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/piramidepentagonalcortefrontal.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/piramidepentagonalcortetopo.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/sombratri.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-81940887056226550922009-09-12T13:23:00.018+01:002009-10-12T03:58:48.386+01:00Construções realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos SantosAs seguintes construções foram realizadas pela Professora Cristina Gouveia dos Santos, no âmbito da Oficina de Formação "Produção de Materiais Didácticos para o Ensino da Geometria com o apoio das TIC", que decorreu em Lisboa entre Junho e Julho de 2009, sob orientação da Professora Vera Viana.<br />
Das muitas construções que a Professora realizou, estas são aquelas que ela próprio seleccionou para divulgação no blogue do Centro de Formação da Aproged:<br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/pentagonalprismaseccao3.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/pentagonalprismaseccao1cg.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br />
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<center><iframe src="http://www.aproged.pt/seccaohexagonaltruncada.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-48149345383861602662009-09-02T11:19:00.007+01:002009-10-02T11:17:38.491+01:00Representação Axonométrica de um sólido composto por três cubosPara a seguinte construção da representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, foram considerados os seguintes dados:<br />- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º<br />- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z varia, entre 90º e 150º<br />- O conjunto de sólidos a representar situa-se no espaço do primeiro triedro<br />- O Cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados<br />- A face de menor afastamento do Cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;<br />- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.<br />- o Cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.<br /><br />Exta exercício foi adaptado dos exercícios 2 do Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A (Cód. 408) de 2003 – 2ª fase e de DGD-B (Cód. 109) de 1997 – 2ª fase).<br />Os planos coordenados frontal e lateral foram rebatidos sobre o plano axonométrico, tendo sido apenas necessário rebater o par de eixos respectivo.<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/cubos.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-43950916041367415472009-09-02T08:42:00.011+01:002010-12-30T05:31:19.021+00:00A Linha de Euler e a circunferência dos nove pontosO matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, descobriu o seguinte teorema:<br />- O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo são colineares.<br />A recta que os contém viria depois a ser designada por linha de Euler (desenhada, a seguir, a traço contínuo fino preto, contendo o segmento de recta HO).<br />Esta linha contém ainda o centro da circunferência dos nove pontos e outros centros importantes do triângulo (que não serão, por agora, referidos).<br /><br />Convirá referir, em relação ao desenho seguinte, que:<br />- o ortocentro do triângulo (H) é determinado pela intersecção das suas alturas (a traço contínuo ocre);<br />- o circuncentro do triângulo (O) é determinado pela intersecção das mediatrizes dos seus lados (a traço contínuo vermelho);<br />- o baricentro (G) ou centróide do triângulo é determinado pela intersecção das suas medianas (a traço contínuo verde);<br />- A circunferência dos nove pontos (desenhada a traço expressivo azul-claro) contém os pés das alturas (Pa, Pb e Pc), os pontos médios dos lados (A', B' e C') e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro H a cada um dos vértices do triângulo (Ma, Mb e Mc).<br />- O centro (9P) da circunferência dos nove pontos corresponde ao ponto médio do segmento definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo (como atestam os traçados auxiliares interrompidos).<br />- A distância do baricentro ao circuncentro corresponde a um terço do segmento de recta definido pelo ortocentro e pelo circuncentro do triângulo.<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/00euler.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Euler demonstraria ainda, em 1765, que o triângulo órtico e o triângulo medial têm o mesmo circuncentro, conforme podemos verificar no desenho seguinte.<br />Poncelet (1788-1867)comprovaria depois que este corresponde ao centro da circunferência dos nove pontos, também designada por círculo de Feuerbach.<br />Redescobrindo o trabalho de Euler, Feuerbach (1800-1834) provou que a circunferência dos nove pontos intersecta os quatro círculos tritangentes do triângulo (como já vimos <a href="http://aproged-aproged.blogspot.com/2009/06/q.html">aqui</a>).<br />De referir, ainda, o seguinte:<br />- o triângulo órtico PaPbPc (desenhado a traço expressivo ocre) é definido pelos pés das alturas do triângulo ABC;<br />- o triângulo medial (desenhado a traço expressivo vermelho) é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC.<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/01euler.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Fontes consultadas:<br />"Descobrindo e Dissecando um cristal Geométrico" - Douglas Hofstadter (artigo publicado no livro "Geometria Dinâmica" de vários autores, Ed. da Associação de Professores de Matemática)<br />"Geometry Revisited" - H.S.M. Coxeter e S.L. Greitzer (Ed. The Mathematical Association of America)vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-51505686376113771262009-07-15T08:11:00.015+01:002009-10-02T11:17:07.451+01:00Rebatimento do Plano de Perfil sobre o Plano Frontal de ProjecçãoO desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de um plano alfa perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, cuja posição varia entre frontal (de afastamento nulo), vertical e de perfil.<br />Pertencente a este plano, está também representado um quadrado [ABCD], de lados oblíquos aos Planos de Projecção e com os vértices A e B pertencentes, respectivamente, ao Plano Frontal de Projecção e ao Plano Horizontal de Projecção.<br />Podemos considerar este desenho como uma demonstração animada do processo de rebatimento de um plano de perfil sobre o plano Frontal de Projecção:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/perfilpfp0.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Esta representação foi realizada em perspectiva cavaleira, sendo o ângulo entre os eixos axonometricos z e y igual a 135º e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico de 45º.<br />Para a representação dos elementos referidos, foi determinada a direcção de afinidade, sem a qual não se poderia determinar o respectivo contra-rebatimento.<br />O plano alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção, tendo aí sido determinada a verdadeira grandeza do quadrado [ABCD]. Este rebatimento foi executado no rebatimento do Plano Coordenado Horizontal sobre o Plano Axonométrico.<br />O desenho seguinte evidencia, com cor vermelha, alguns dos traçados auxiliares para esta construção:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/perfilpfp1.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-17688941939724837182009-07-15T07:55:00.010+01:002009-10-02T11:16:18.131+01:00Pirâmide de base hexagonal regularO desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço do primeiro diedro) e de uma pirâmide com a base regular horizontal, contida no plano delta.<br />O eixo do prisma varia de posição entre vertical (quando o eixo coincide com a recta vertical e, tendo o vértice principal V a mesma abcissa e afastamento do centro da base O) e oblíqua (chegando a aresta lateral [AV] a pertencer à recta vertical v). Em qualquer um dos casos, o vértice V situa-se sempre abaixo do plano da base da pirâmide e a pirâmide ou é recta ou é oblíqua.<br />Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/piramide.html" frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center><br /><br />O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.<br /><br />Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e da base da pirâmide.<br />Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.<br />Contra-rebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção da base.<br />O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta paralelo ao raio [OA] (representado previamente no rebatimento do plano coordenado horizontal) e situado abaixo do plano da base. Depois de determinarmos o vértice , podemos representar a pirâmide e as respectivas projecções, utilizando um traçado adequado.<br />Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-27151282918213274592009-07-15T06:49:00.008+01:002009-10-02T11:13:47.217+01:00Prisma Hexagonal regular de bases horizontaisO desenho seguinte corresponde à representação, em perspectiva cavaleira, dos Planos de Projecção (limitados ao espaço primeiro diedro) e de um prisma hexagonal regular de altura variável, com as bases horizontais, contidas nos planos beta e delta.<br />A altura do prisma varia entre zero (quando o plano beta coincide com o Plano Horizontal de Projecção) e o valor da cota positiva do plano delta (quando o plano beta coincide com o plano delta).<br />Ao lado da perspectiva, e em interdependência, temos os mesmos elementos representados em épura, isto é, em representação (bidimensional) diédrica.<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/prisma.html" frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center><br /><br />O traçado (interrompido) das invisibilidades deveria ser mais expressivo do que o disponibilizado pelo software utilizado.<br /><br />Para realizar esta construção, começamos por desenhar os eixos axonométricos em perspectiva cavaleira, após o que, depois de determinada a direcção de afinidade, podemos passar a construir os limites dos Semiplanos, e, através do rebatimento do plano coordenado horizontal, as projecções do ponto O e de uma das bases do prisma.<br />Deve ser incluída a possibilidade, não só de alterar o ângulo entre os eixos axonométricos e o ângulo das projectantes com o plano axonométrico, mas também a de movimentar um dos vértices da base ao longo da circunferência que a circunscreve.<br />Contrarebatendo estes elementos, poderemos concluir a construção do prisma e dos planos que contêm as bases, utilizando um traçado adequado.<br />Ao lado da perspectiva, transpomos, com a ferramenta compasso, a medida do segmento de recta correspondente ao eixo x (considerado como finito, neste desenho) e as medidas das coordenadas dos elementos considerados.vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-22392219141750768202009-07-09T15:27:00.008+01:002009-10-02T11:13:09.856+01:00Sombra produzida por um triângulo frontalNa seguinte representação diédrica, temos um triângulo equilátero [ABC] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano frontal de afastamento variável.<br />Considerando a direcção luminosa convencional, determinou-se a sombra projectada pelo triângulo sobre os planos de projecção.<br />Dependendo da sua posição, o triângulo produz sombra sobre o Plano Horizontal de Projecção, sobre o Plano Frontal de Projecção ou em ambos os Planos de Projecção:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/sombrastriangulo.html" frameborder="0" width="800" height="600"></iframe></center><br /><br />A variação do afastamento do plano que contém o triângulo deve ser previamente preparada, de modo a que a projecção horizontal do centro do triângulo (O1) se desloque ao longo de uma semi-circunferência de cota nula, não tangente ao Plano Frontal de Projecção (sugere-se que o seu diâmetro tenha 8 unidades de comprimento e que o seu centro diste nove unidades do Plano Frontal de Projecção).<br />A partir de O1, podemos definir O2 com a cota à escolha (sugerem-se 4 unidades) e a circunferência, tangente ao Plano Horizontal de Projecção, que circunscreverá o triângulo [ABC].<br />Definidas as projecções do triângulo, deve-se começar por determinar os pontos da figura pertencentes ao beta 13 e a respectiva sombra no eixo x, após o qual se desenham os limites da sombra projectada no Plano Frontal de Projecção, paralela aos lados do triângulo.<br />É uma construção ligeiramente demorada, mas cujo resultado é, creio, muito esclarecedor.vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-76219355200081877312009-07-09T14:48:00.008+01:002009-10-02T07:40:26.982+01:00Teorema de PascalO seguinte teorema, conhecido por <a href="http://mathworld.wolfram.com/PascalsTheorem.html">teorema de Pascal</a> ou do Hexágono Místico, foi descoberto por <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal">Blaise Pascal</a>(1623-1662), com a idade de 16 anos, diz-nos que:<br />Os pontos de intersecção dos pares de lados opostos de um hexágono inscrito numa curva cónica são colineares. A recta que contém estes pontos chama-se recta de Pascal.<br />Surpreendentemente, este teorema continua válido mesmo quando o hexágono não é regular ou sequer convexo e independentemente da cónica!<br /><br />As seguintes construções animadas demonstram a validade deste teorema.<br />Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 definiram a cónica (o ponto 1 pertence a uma circunferência, para permitir a animação do desenho), enquanto que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’ são pontos pertencentes à cónica, a partir dos quais se definiram as seguintes rectas e pontos de intersecção:<br />- as rectas A’B’ e BC, intersectam-se no ponto X;<br />- as rectas B’C’ e AB intersectam-se no ponto Y;<br />- as rectas AA’ e CC’ intersectam-se no ponto Z.<br />Os pontos X, Y e Z pertencem a uma mesma recta p, desenhada a traço contínuo expressivo.<br /><br />Pode movimentar os pontos 1, 2, 3, 4, 5, A, B, C, A', B' ou C' para verificar a validade do teorema (aconselho-o a utilizar, para tal o terceiro desenho, que é idêntico aos anteriores, mas não tem animação).<br /><br />Neste primeiro desenho, a curva cónica é uma elipse, ainda que variável, de acordo com a deslocação do ponto 1 (para melhor visualização, o hexágono foi preenchido com uma mancha clara):<br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/pascalelipse.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />No segundo desenho, a cónica tanto é uma elipse como uma hipérbole:<br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/pascal2.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Neste desenho, pode experimentar movimentar os pontos (excepto, claro X, Y e Z, que resultam de intersecções de elementos pré-definidos):<br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/pascal.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Para realizar esta construção com o C.a.R.Metal, utilize a ferramenta "Secção Cónica passando por 5 pontos" e defina-a com os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 (um destes pontos pode pertencer a uma circunferência, previamente desenhada, se quiser incluir a animação). Defina os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencentes à cónica, e a seguir as rectas referidas para determinar os pontos X, Y e Z.<br /><br />A consultar: Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. <a href="http://books.google.com/books?id=VdAM58ksvcIC&dq=geometry+revisited&printsec=frontcover&source=bl&ots=jlkoa_f_Sy&sig=ig1Rd3U6eeSTnZZNEycSPg3vmeQ&hl=pt-PT&ei=I_xVSsPZIJbGnAP7gP3dCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1">Geometry revisited</a>, The Mathematical Assoc. of America, 1967vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-84618575355673867922009-07-06T10:18:00.008+01:002009-10-02T11:12:33.929+01:00Representação diédrica de uma Pirâmide Hexagonal regular 2No desenho seguinte, temos a representação diédrica de uma pirâmide hexagonal regular de base horizontal, cujo vértice principal se situa acima do plano da base.<br />O vértice A, da base, desloca-se continuamente ao longo da circunferência que a circunscreve. As arestas laterais da pirâmide serão visíveis, em projecção frontal, de acordo com o afastamento dos respectivos vértices:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/hexagonalmoveA.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Observação: depois de determinadas as projecções do ponto O, do plano da base e da circunferência circunscrita ao hexágono, há que determinar A1, nela contido, e só depois o hexágono em verdadeira grandeza, a partir do qual se determina a respectiva projecção frontal. Posteriormente, determinar-se-á o vértice principal da pirâmide e as projecções da pirâmide.<br />Para que seja possível representar a projecção frontal das arestas laterais com um traçado adequado, há que definir, em projecção horizontal, um arco de circunferência de centro em O1, correspondente a um ângulo com a amplitude de 300º (a traço interrompido, no desenho). A intersecção deste arco com a projecção horizontal das arestas laterais da pirâmide possibilitará a determinação, em projecção frontal, das respectivas visibilidades.<br />Esta opção é, obviamente, um dos muitos métodos possíveis de resolver o problema.vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-53789757474902440162009-07-03T12:58:00.014+01:002009-10-02T11:11:28.083+01:00Representação diédrica de uma Pirâmide Hexagonal regular 1No desenho seguinte, temos a representação diédrica de uma pirâmide hexagonal regular de base horizontal, de altura variável, já que o seu vértice principal tanto se situa acima como abaixo do plano da base.<br />Esta deslocação do vértice determina que as arestas laterais da pirâmide só serão visíveis, na projecção horizontal, quando o vértice se situar acima do plano da base. Estas arestas serão invisíveis nesta projecção se o plano da base tiver maior cota do que o vértice:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/hexagonal.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Observação: depois de determinadas as projecções do ponto O, do plano da base e da circunferência circunscrita ao hexágono, há que determinar A1, nela contido, e só depois o hexágono em verdadeira grandeza, a partir do qual se determina a respectiva projecção frontal.<br />O vértice V deverá pertencer a um segmento de recta correspondente à projecção frontal da recta vertical que contém o eixo da pirâmide.<br /><br />A determinação do traçado adequado para a visibilidade das arestas laterais na projecção horizontal, decorre da representação de uma semi-recta auxiliar que intersecta uma das arestas laterais da pirâmide apenas quando esta se situa acima do plano da base, permitindo definir os pontos X e Y, que, por sua vez, possibilitam-nos a construção de 12 segmentos de recta correspondentes à representação das arestas laterais visíveis, em projecção horizontal, com um traçado expressivo.<br />Neste desenho, estes elementos foram desenhados a verde:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/hexagonal1.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Para quem quiser avançar um pouco mais neste tipo de representações, utilizando os traçados adequados e convenientemente expressivos de que o software utilizado não dispõe, poderá, aplicando um raciocínio idêntico ao do desenho anterior (para a determinação dos pontos auxiliares Y e Z), e mediante um pouco mais de trabalho, realizar a seguinte representação:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/hexagonal2.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center><br /><br />Bom trabalho!vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8039288769346650336.post-15049316133571457642009-07-01T13:03:00.002+01:002009-10-02T07:27:52.425+01:00Teorema do Hexágono de PappusO teorema do hexágono de Pappus de Alexandria (c. 290 – c. 350) diz-nos o seguinte:<br />Se A, C e E forem três pontos de uma recta e B, D e F forem três pontos de outra recta, e se as rectas AB, CD e EF intersectarem, respectivamente, as rectas DE, FA e BC, então os três pontos de intersecção L, M e N são colineares.<br />Na construção dinâmica seguinte, temos duas rectas r e m, cada uma delas com três pontos com as notações referidas. Cada um destes pontos pode ser movimentado, seleccionando a ferramenta Mover e arrastando o ponto ao longo da recta a que pertence.<br />A animação pré-definida permite que as rectas m e r sejam concorrentes ou paralelas (quando a recta m coincide com a recta desenhada a traço interrompido).<br />Ao longo da animação, os três pontos de intersecção L, M e N mantêm-se sempre colineares, pertencendo à recta p, desenhada a traço expressivo azul:<br /><br /><center><iframe src="http://www.aproged.pt/pappus.html" frameborder="0" width="800" height="800"></iframe></center>vera vianahttp://www.blogger.com/profile/00871508561557309846noreply@blogger.com0